Prof. Schuch lehrt am Institut für Theoretische Physik an der Goethe-Universität Frankfurt und ist durch seine zahlreichen Veröffentlichungen zur elementaren Frage nach der Zeit in der Quantenmechanik bekannt geworden. Der Schwerpunkt seiner oft auch unkonventionellen Arbeiten liegt in seinem Streben, endlich die reversible Mikrophysik konsistent mit der irreversiblen Makrophysik zu verknüpfen. Wie seine Arbeiten zeigen, können durch einen nichtlinearen Ansatz sowohl eine Zeitrichtung (!) als auch Energieverluste in die Quantenphysik eingeführt werden.
Seine komplexen nichtlinearen Formulierungen der Quantenmechanik erlauben es damit, endlich die Zusammenhänge von klassischer Dynamik und Quantenunbestimmtheiten zu erklären sowie den Übergang von klassischer Dynamik zu klassischer Mechanik transparenter zu gestalten und irreversible Umgebungseffekte einzubeziehen.

Von den „Quanten“ des Pythagoras zum Zeitpfeil in der Quantenmechanik

(Vortrag, gehalten im Waldhof, 4. Juli 2010)
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Zusammenfassung:
Erste „Quantisierungsansätze", die schon bei den Pythagoreern bekannt waren, treten in neuem Gewand in der Quantenmechanik wieder auf. Und zwar im Zusammenhang mit einem Formalismus, der schon 1880 von dem Ukrainer Ermakov entdeckt wurde – also lange vor der Entwicklung der Quantenmechanik. Dieser Ansatz basiert auf einer Erhaltungsgröße, die auch dann noch als solche existiert, wenn die Energie des Systems zeitlich nicht mehr konstant ist.

Im Gegensatz zu der üblicherweise als fundamental angesehenen Hamitonfunktion, die der Energie des Systems entspricht, hat diese universelle Invariante die Dimension einer Wirkung, also Energie mal Zeit. Diese Invariante existiert insbesondere auch für Systeme, für die die Energie keine Erhaltungsgröße mehr ist und für die der übliche Hamiltonsche Formalismus versagt. Es wird ferner auf die fundamentale Rolle des Wirkungsbegriffs und seiner Quantisierung eingegangen und ein zweites Wirkungsquantum neben dem Planckschen vorgestellt, nämlich das Einsteinsche. Das allerdings bisher relativ unbeachtet blieb, aber dennoch von zentraler Bedeutung für die Physik ist.

Vortrag:

Denkt man an eine „quantisierte" Struktur unserer Materie, so fällt einem wohl zunächst Demokrits Idee von Atomen als elementaren Bausteinen unserer Welt ein. Weniger bekannt ist wohl Platons eher abstraktes Modell einer Welt, die aus rechtwinkligen Dreiecken aufgebaut ist, die ihrerseits die vier Platonischen Körper Tetraeder, Würfel, Oktaeder und Ikosaeder bilden können, die den Elementen Feuer, Erde, Luft und Wasser entsprechen (der Dodekaeder, die göttliche „Quintessenz" sei dabei ausgenommen), ein Modell, das z.B. Werner Heisenberg, einen der Väter der Quantenmechanik, gleichermaßen faszinierte wie verwirrte. Johannes Kepler versuchte durch Ineinanderschachtelung dieser Platonischen Körper die Bahnen der Planeten unseres Sonnensystems zu erklären, wobei ca. 200 Jahre später Titius und Bode eine Regel fanden, der zufolge die Radien dieser Planetenbahnen im Verhältnis ganzer Zahlen zueinander stehen. Vom atomaren Aufbau bis hin zu astronomischen Größenordnungen scheinen also rechtwinklige Dreiecke und ganze Zahlen („Quanten") eine besondere Rolle zu spielen.

Bei rechtwinkligen Dreiecken denkt man wahrscheinlich auch an den schulischen Mathematikunterricht und den Satz des Pythagoras, wonach bei solchen Dreiecken die Fläche des Quadrats über der längeren Seite (Hypotenuse) gleich der Summe der Fläche der Quadrate über den zwei kürzeren Seiten (Katheten) entspricht. Pythagoras und seine Schüler waren aber auch bekannt für ihr Dogma „alles ist Zahl", wobei „Zahl" ganze Zahl bedeutete. Kombiniert man diese zwei Aspekte, so kommt man zu der Frage, gibt es rechtwinklige Dreiecke, bei denen alle Seitenlängen ganzzahlige Vielfache einer Einheit sind? Recht schnell findet man das sog. Pythagoreische Tripel (3,4,5), d.h. 32+42=52 (was wohl bereits die mesopotamischen Kulturen zur Landvermessung ausnutzten), doch gefragt nach einem weiteren solcher Tripel müssen selbst mathematisch Versierte länger nachdenken (z.B., 5,12,13, oder 8,15,17; es gibt unendlich viele!). Eine einfache Regel, nach der sich alle pythagoreischen Tripel ermitteln lassen, werden wir später im Zusammenhang mit der zeitlichen Entwicklung (Dynamik) von Quantensystemen finden.

Zuvor wollen wir uns aber der zeitlichen Änderungen physikalischer Systeme in der klassischen Mechanik zuwenden. Experimentelle Studien dazu wurden systematisch von Galilei durchgeführt, eine mathematische Formulierung dürfte wohl erstmals Isaac Newton zuzuschreiben sein, obwohl die nach ihm benannte Bewegungsgleichung erst ca. 50 Jahre später von Leonhard Euler niedergeschrieben wurde. Zwar stellte diese Differentialgleichung einen entscheidenden Fortschritt dar, so beinhaltete sie dennoch ein Problem: ihre Form änderte sich, wenn man dasselbe physikalische Problem in verschiedenen Koordinatensystemen beschrieb, also z.B. statt in rechtwinkligen Koordinaten in Polarkoordinaten (d.h. mittels Radius und Winkel). Die Suche nach einer forminvarianten Formulierung führte über sog. Extremalprinzipien hin zu einem Formalismus, der auf Lagrange (1736-1813) und Hamilton (1805-1865) zurück geht. Solche Extremalbedingungen kannte man auch aus anderen Gebieten, z.B. der Optik, wo die Forderung, dass das Licht, das in einem Medium an einem Punkt A ausgesandt wird, einen Punkt B in einem anderen Medium in der kürzest möglichen Zeit erreicht, zum Berechnungsgesetz führt. In unserem mechanischen Problem ist es nicht mehr die Zeit, die optimiert werden muss, sondern eine andere Größe, die uns noch häufiger begegnen wird, die sog. Wirkung, die sich als Produkt von Zeit mal Energie oder Ort mal Impuls (= Masse mal Geschwindigkeit) auffassen lässt, eine Größe also, die selbst einer direkten Messung nicht zugänglich ist. Die spezielle Bedeutung der Wirkung wird noch deutlicher, wenn wir uns der Quantenmechanik zuwenden, in der das Planck’sche Wirkungsquantum h (bzw. , von Max Planck 1899 zunächst als eine Art Hilfsgröße (daher „h“) eingeführt, eine fundamentale Rolle spielt.

Die Quantenmechanik wird oft als eine esoterische Theorie angesehen, die selbst die Spezialisten nicht verstehen und die man als Laie ruhig ignorieren könne, doch übersieht man dabei gern, dass der überwiegende Teil unseres Bruttosozialprodukts (und das fast aller Länder) direkt oder indirekt auf der Quantenmechanik und ihren Ergebnissen basiert. Ohne Sie gäbe es weder Halbleiter (also keine Computer und Mobiltelefone) noch Laser (also keine CD-Spieler und Netzhautoperationen), keine Kernenergie (und, zugegebenermaßen, auch keine Kernwaffen) und keine Kernspintomographie; unsere moderne Welt würde völlig anders aussehen!

Was sind nun die charakteristischen Besonderheiten dieser mysteriösen Theorie „Quantenmechanik“?

Max Planck postulierte, dass Energie nicht in beliebigen Mengen transportiert und ausgetauscht werden kann, sondern nur in festgesetzten Portionen, den Energiequanten, die ein ganzzahliges Vielfaches des Planck’schen Wirkungsquantums sind, eine Idee, die Einstein ein einer seiner drei berühmten Publikationen des Jahres 1905 aufgriff.

Mit der Entwicklung der Wellenmechanik durch Schrödinger und der Matrizenmechanik durch Heisenberg Mitte der zwanziger Jahre des letzten Jahrhunderts rückte ein weiterer Aspekt der Quantenmechanik in den Brennpunkt des Intereses, der Welle-Teilchen-Dualismus. Insbesondere konnten nun Teilchen nicht mehr nur als (idealisierte) Massenpunkte aufgefasst werden, sondern auch Welleneigenschaften besitzen, die durch die Schrödingergleichung beschreibbar waren. Diese Gleichung beschreibt das raum-zeitliche Verhalten einer sogenannten Wellenfunktion, die gemäß Schrödingers Definition mit der klassischen Wirkungsfunktion und dem Planck’schen Wirkungsquantum verknüpft ist. Ein Beispiel für eine solche Wellenfunktion fand sich auf dem früheren 10-DM Schein neben dem Konterfei von Carl Friedrich Gauß, nach dem diese Glockenkurve benannt ist. Das Maximum dieser Kurve folgt der Bahn, die auch ein klassischer Massenpunkt beschreiben würde, aber die endliche Breite dieser Kurve besagt, dass es auch eine entsprechende Wahrscheinlichkeit gibt, das „Teilchen“ an einem Ort zu finden, der dem klassischen Teilchen nicht zugänglich wäre. Eine Konsequenz dieser Tatsache ist der sogenannte Tunneleffekt, der inzwischen auch technisch (z.B. Tunneldiode, Rastertunnelmikroskop) vielfältig ausgenutzt wird.

Ein Aspekt, der noch rätselhafter ist als diese Welleneigenschaft von Materie und der selbst Schrödinger starke Überwindung gekostet hat, ihn zu akzeptieren, ist die Eigenschaft der Wellenfunktion, eine (im mathematischen Sinn) komplexe Größe zu sein. Solche Größen spielen normalerweise in unserem täglichen Leben keine Rolle und wurden zuvor in der Physik eher als rechentechnische Hilfsmittel verwandt, haben nun aber, wie z.B. die Physiknobelpreisträger E. Wigner und C.N. Yang betonen, in der Quantenmechanik eine fundamentale Bedeutung. Wir wollen daher im Folgenden kurz darlegen, was komplexe Größen bzw. Zahlen sind und was ihre Bedeutung für die Quantenmechanik ausmacht.

Multipliziert man eine positive Zahl mit sich selbst, so erhält man wiederum etwas Positives, Gleiches gilt aber auch, wenn man eine negative Zahl mit sich (oder einer anderen negativen Zahl) multipliziert. Nun fand man aber in der Renaissance Gleichungen, bei denen eine Zahl mit sich selbst multipliziert etwas Negatives ergab. Da dies in der bekannten Mathematik nicht vorkam, definierte man eine neue Größe, die imaginäre Einheit i , deren Quadrat gerade -1 ergab. Somit konnte man imaginäre Zahlen, die man durch Multiplikation der bekannten reellen Zahlen mit i erhielt sowie komplexe Zahlen, die aus einer reellen und einer imaginären Komponente bestanden, definieren. Es war wiederum C.F. Gauß, der ersann, solche Zahlen (eigentlich Zahlenpaare) als Punkte in einer Ebene darzustellen, wobei die waagerechte Achse dem reellen Anteil und die senkrechte Achse dem imaginären Anteil zugeordnet wurde (die Deutsche Post widmete dieser Komplexen Zahlenebene zu Gauß‘ 200ten Geburtstag im Jahr 1977 sogar eine Briefmarke).

Wie bereits erwähnt, ist die Schrödingersche Wellenfunktion nun auch eine solche komplexe Größe, die über Real- und Imaginärteil verfügt. Ferner folgt aus der Schrödingergleichung, dass die Breite der Wellenfunktion, die sozusagen die möglichen Abweichungen der Position unseres „Teilchens“ von der eines entsprechenden klassischen Massenpunktes charakterisiert, ebenfalls zeitabhängig sein kann und diese Zeitabhängigkeit durch die Änderungen einer komplexen Größe beschrieben wird, wobei diese Änderung proportional zum Quadrat dieser Größe ist. Dies bringt uns aber zu zwei essentiellen Punkten unserer Betrachtungen. Bezeichnet man eine komplexe Größe C mittels ihres Realteils R und ihres Imaginärteils iI als , so werden durch das Quadrieren Real und Imaginärteil miteinander vermischt, da . Diese Vermischung ist nicht willkürlich, sondern kann durch eine Erhaltungsgröße für die Bewegung von C in der komplexen Ebene beschrieben werden, ähnlich wie die Erhaltung des Drehimpulses, die man z.B. vom Eiskunstlaufen kennt, wo ein Anziehen der Arme, also eine Verkürzung der radialen Komponente, eine Beschleunigung der Drehbewegung, also der Winkelkomponente, bewirkt und umgekehrt. Diese Erhaltungsgröße der Quantenmechanik wurde bereits 1880, also 45 Jahre vor Schrödinger und Heisenberg von dem Ukrainer Ermarkov entdeckt und hat die beachtliche Eigenschaft, dass sie die Dimension einer Wirkung besitzt, also Energie mal Zeit.

Der zweite essentielle Punkt bringt uns nun zurück zu Platon und Pythagoras. Natürlich ist das Quadrat einer komplexen Zahl selbst wieder eine komplexe Zahl, die sich als Punkt in der komplexen Ebene darstellen lässt. Verbindet man nun diesen Punkt mit dem Ursprung des Koordinatensystems, so bilden diese Verbindungslinie zusammen mit Real- und Imaginärteil ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen , und . Nimmt man nun für R und I ganze Zahlen an (mit R größer I), so kann man auf diese Weise all unsere Pythagoreischen Tripel, d.h. rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen erzeugen (für das Tripel 5,12,13 sind z.B. R=3 und I=2)! Was hat dies nun wiederum mit Physik zu tun?

Bei der erwähnten, die Verbreiterung der Wellenfunktion beschreibenden komplexen quantenmechanischen Größe entspricht z.B. der Realteil dem Beitrag zum Tunnelstrom. Wenn dieser aber in seiner zeitlichen Änderung durch quantisierte Sprünge beschrieben werden kann, zeigt dies Parallelen zum sog. Quanten-Hall-Effekt, für dessen Entdeckung Klaus von Klitzing 1985 den Nobelpreis erhielt.

Die bisher betrachteten zeitlichen Änderungen physikalischer Systeme, seien es klassische oder quantenmechanische, zeichnen sich dadurch aus, dass die Zeitrichtung in den Bewegungsgleichungen keine Rolle spielt, d.h. es gibt keine Vergangenheit und keine Zukunft, da man durch Wechsel des Vorzeichens des Parameters „Zeit“ von der einen in die andere Zeitrichtung wechseln kann, ohne dass die Physik sich ändert. Dies widerspricht aber zutiefst unserer täglichen Erfahrung einer wahrgenommenen Zeitrichtung, eines Alterns, dass wir auch bei allem Bestreben nicht umkehren können. Hier liegt nun der zentrale Punkt, an dem an Umdenken einsetzen muss. Wenn uns die Physik sagt, dass Zeitrichtung und Altern nur eine Illusion auf einer zu engen Zeitskala sind, wir aber diese fundamentale Erfahrung als solche nicht leugnen können, bietet sich als Alternative an, dass man eventuell die wenn auch extrem erfolgreichen, physikalischen Theorien der formalen klassischen Physik und der Quantenmechanik, in Frage stellten sollte und überlegen sollte, ob es nicht möglich wäre, dass die etablierte Theorie im Wesentlichen nur streng gültig für isolierte Systeme ist, wir aber in einer Welt miteinander wechselwirkender Komponenten leben, wobei die idealisierten isolierten Systeme nur ein Grenzfall sind.

Ansätze zur Erweiterung der klassischen und der Quantenmechanik existieren, wobei teilweise liebgewonnene, fast dogmatische Aspekte wie das Superpositionsprinzip der linearen Schrödingergleichung aufgegeben werden müssen, andererseits aber dadurch solche Paradoxa wie Schrödingers halbtote, halblebendige Katzen wegfallen, ohne dass deshalb die übliche Interpretation quantenmechanischer Größen gleich über Bord geworfen werden muss.

In diesem Zusammenhang erscheinen vielleicht Phänomene, bei denen reibungsbedingte Energieverluste auftreten, in einem neuen Licht, so z.B. auch ein weiterer Quanteneffekt, der fraktionierte Quanten-Hall-Effekt (für den D. Tsui, H. Störmer et al 1998 den Nobelpreis erhielten), der noch immer nicht genau verstanden ist. Dabei scheinen sich die gebrochenzahligen Widerstands- bzw. Stromwerte auch so interpretieren zu lassen, dass hierbei zwei Effekte involviert sind, wobei einer mit dem bekannten Planck’schen Wirkungsquantum ℏ quantisiert ist, während der andere mit einen anderen, kleineren Wirkungsquantum e2/c quantisiert ist. Dies zweite Wirkungsquantum wurde von uns als minimales Quantum der elektrostatischen Wechselwirkung bezeichnet und war sowohl Einstein als auch Schrödinger als potenziell bedeutsam bekannt, doch gab es seinerzeit noch keine experimentelle Bestätigung der Signifikanz dieses zweiten Wirkungsquantums. Das Verhältnis dieser beiden Wirkungsquanten, , ist dagegen schon seit den Anfängen der Quantentheorie als Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante bekannt und kein geringer als der Physiknobelpreisträger Richard Feynman meinte, dass diese Größe eines der größten Mysterien der Theoretischen Physik sei und jeder auf diesem Gebiet Arbeitende sich diese Größe an seine Wandtafel schreiben und über ihre Bedeutung nachdenken solle.

Die Quantenmechanik herkömmlicher Prägung scheint sich im Wesentlichen mit einer Rotation, also einer Winkeländerung der komplexen Größe, die das System beschreibt, zu beschäftigen, welche durch ℏ quantisiert ist. Die Quantisierung einer radialen Komponente, die mit e2/c und eventuellen dissipativen Kopplungen an eine Umgebung verknüpft sein könnte, wird derzeit weitestgehend ignoriert, könnte aber künftig bei einem überfälligen Paradigmenwechsel eine entscheidende Rolle spielen.

Zu guter Letzt sollte nochmals betont werden, dass auch in der Quantenmechanik die Größe „Wirkung“ in verschiedenen Ausprägungen wahrscheinlich wichtiger ist, als die oft im Mittelpunkt stehende Energie.